線形代数学筋を鍛える！

微分積分学と並んで、大学1年の数学教育の要となる科目――線形代数学。

何を教育のポイントにするかという話になると、意見が分かれてくる科目でもある。数学科だと、佐武一郎『線型代数学 (数学選書)』は定番の一冊だろう。斎藤正彦『線型代数入門 』もよく使われているのではないかと思う。どちらも非常にいい本だ。

しかし、これらを数学科以外で使うのは至難の業だ。特に工学部では。

高校で行列を習っていない（数学Cを履修していない）のは、今や珍しいことではないし、ベクトルさえ習っていない（か、習っていても忘れている）ケースもある。講義に際しては、学生は行列に対するイメージが全くないと思った方がよい。そうした原始的な感覚がゼロのときに、ベクトル空間だ線形写像だ単因子論だなんだと抽象度の高いことを言っても無駄である。工学部で必要とされる線形代数は、大体においてそれほど抽象的ではない、ということも理由の一つだ。

この観点で割りきって書かれた教科書は、ありそうでなかなかない。が、皆無というわけでもない。たとえば、硲文夫『理工系の線形代数』。本書の割り切りぶりは大したもので、ほとんどの議論を基本変形だけで行っている。ここまで思い切った本はそうそうない。講義で使って重宝した。

ただ、使っていてちょっとしんどかったのが、「行列式の重要な性質|AB|=|A||B|の証明がとても長い」ということである。ブロック行列を使えば非常に簡単に証明できるのだが、この本ではブロック行列を扱っていないので、ちょっと面倒な証明になってしまったのだろう。制御理論（機械工学）、回路理論（電気、電子工学）では、ブロック行列が頻出するので、ブロック行列を扱っておくのは無駄ではないと思う。

それと、この本では、学生がベクトルを知っていることが前提と取れる記述がいくつかある。だが、学生の様子を見ていると、履修していなかったり、既に忘れていたりで、当然一次変換のイメージも皆無である。直線の方程式（パラメータ表示）、平面の方程式なども知らない（これは教科書にない）。したがって、その分を追加で教えなければならない。覚悟を決めて自分で書き下ろしたのが、『計算力をつける線形代数』だった（3月に第2版出来。こちらから内容が一部見られます）。

『計算力をつける線形代数』では、学習の目的を思い切って以下の3点に絞った。
a) 連立方程式
b) ベクトル・行列の意味と計算
c) 固有値

「線形代数学」というより、「連立方程式の解き方と行列の扱い方」というような感じの教科書だが、それでもこの水準の学習がどうしても必要、というのが私の教壇に立っての感覚。あえて言えば、公文式に近いアプローチか。数学が得意な学生にとっては物足りないと思うけれど、講義についていくのが辛いという学生は、まずこの水準の計算練習を大量にやっておく必要がある。その上で、抽象度の高い教科書を必要に応じて参照すれば、実り多い学習ができると思う。

今年度はこの教科書を利用し、かつ、ほぼ毎回小テストを実施して前回の内容を確認している。何を練習してくればいいのかはっきりさせ、それを毎回テスト。Do-Check, Do-Checkのサイクルを作っている。効果が出るのか否か、それは期末試験で判明するだろう。楽しみなような、恐ろしいような。