ワイブル分布はどこからきたのか

「統計思考力」の中でワイブル分布を取り上げましたが、あちこちから「統計はやったがワイブル分布はしらん！」という声が。

ワイブル分布の導出についても質問されましたが、もともとワイブルの論文には導出プロセスが書いてありません。ちょっと面白いので紹介しましょう。

ワイブルの原論文（Waloddi Weibull, A Statistical Distribution Function of Wide Applicability, ASME Journal of Applied Mechanics, Trans. of the American Society of Mechanical Engineers, September 1951, pp.293-297.）によれば、これは純粋にエンジニア的観点で出てきたもの。

ワイブル分布を導入する動機はエンジニア的にはとても明解。

統計をちょっとでもかじった人なら、分布関数(distribution function)という概念は覚えているでしょう。確率変数Ｘが、ｘ以下（未満にしても本質的な変更はなし）の確率F(x) = P(X≦x)のことです。そのとき、

F(x) = 1 - exp(-φ(x))

という関数φが定まります。おそらく、念頭に、指数分布の分布関数1-exp(-x/μ)があったんだろうと勝手に想像します。指数分布のときは、φ(x) = x/μになります。

さて、ワイブルは、この論文の導入で、n個のリンクがある鎖を考え、これが切れる確率について考えています。これは最も弱いつなぎ目（the weakest link in the chain）が切れる確率だから、single linkの切れる確率が、上の形をしている場合、求める確率P_nは、

P_n=1-(1-F(x))ⁿ=1-exp(-nφ(x))

という簡単な形になる。

では、φ(x)としてどんな形を考えればいいのか。ワイブルは、突然、

φ(x)=((x-x_u)/x₀)^m

という形（論文とはちょっと違うけど、referee(?)に、typo?と指摘されているので修正してある）が簡単でいいじゃないか、理論的な根拠はないけど、現実とはよく合うのだ！と主張し、7つの例を挙げています。

1. Yield strength of a Bofors steel

2. Size distribution of fly ash

3. Fiber strength of Indian cotton

4. Length of Cyrtoideae

5. Fatigue life of St-37 steel

6. Statures for adult males, born in the British Isles

7. Breadth of beans of Phaseolus Vulgaris

よくわからない専門用語がでてくる。Bofors steelは、ヴォフォース鋼というもので、ここでは、その降伏強度を調べています。4番目のCyrtoideaeというのは貝の一種のようですが、イメージがわかないなぁ。

とはいえ、ワイブル分布はいたるところに現れる重要な分布で、ワイブルの直感というか、エンジニアシップには脱帽せざるを得ません。

個人的には、理論的基礎はともかくデータはそうなってるのだから、理屈もデータに合うべきだという哲学には共感しますね。データが先だよ、統計は。